В равнобедренном треугольнике ABC (AB=BC) проведена биссектриса AD. Sabd=3√35, Sadc = √35. Найти AC

Sabc = Sabd + Sadc = 3√35 + √35 = 4√35

У обоих треугольников общая высота, опущенная на сторону ВС, обозначим её h.

Sabd = 0.5BD · h = 3√35 → BD = 6√35 : h

Sadc = 0.5CD · h = √35 → CD = 2√35 : h

BD : CD = 3

Биссектриса треугольника делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилкжащим сторонам: BD/AB = CD/AC

BD · AC = CD · AB → BD : CD = AB : AC → AB = 3AC

Обозначим для простоты преобразований АС = х, Тогда АВ=ВС = 3 х

По формуле Герона: Sabc = √ (p (p - AB) (p - BC) (p - AC))

Полупериметр р = 0,5 (3 х + 3 х + х) = 7 х/2; р - АВ = р - АС = 3,5 х - 3 х = х/2;

р - АС = 3,5 х - х = 5 х/2

Sabc = √ (7x/2 · x/2 · x/2 · 5x/2) = x²/4 · √35

4√35 = x²/4 · √35 → x² = 16 → x = 4

Ответ: АС = 4