Найдите объем правильной треугольной пирамиды сторона основания равна "а", а боковая грань образует с плоскостью основания угол "d" (альфа).

V = (S (осн) * h) / 3

S (осн) = (a^2 (√3)) / 4

Вершина пирамиды проецируется в центр треугольника, который лежит на пересечении медиан. Медианы в свою очередь делятся в отношении 2 к 1, считая от вершины. AH-медиана, высота, опущенная на BC. Образуется прямоугольный треугольник с катетом 0,5*a и гипотенузой a

AH=√ ((a^2 - (0,5a) ^2) = (a√3) / 2

Поделим результат на 3, чтобы получить катет прямоугольного треугольника SOH, где S - вершина пирамиды, а O - центр треугольника

OH = (a√3) / 6

В этом треугольнике мы знаем катет, угол альфа, прямой угол. Пусть альфа=α По теореме синусов

h/sin (α) = OH / (sin (90) - α) ;

h=OH*tg (α)

V=S (осн) * h = ((a^2√3) / 4) * ((a√3) / (6) * tg (α) / 3 = (a^3*tg (α)) / 24