В угол вписана окружность з радиусом R. Длина хорды, которая соединяет точки касания, равна а. К окружности проведены две касательные, параллельные к хорде. Найти площадь полученной трапеции.

P. S. Учитель сказал, что решать нужно через подобие треугольников

MN - средняя линия трапеции. Средняя линия проходит через центр вписанной окружности.

Отрезки касательных из одной точки равны, △BAC - равнобедренный. Параллельные линии отсекают от угла подобные треугольники. Средняя линия MN параллельна основаниям, основания параллельны BC, MN||BC = > △MAN~△BAC, △MAN - равнобедренный. Центр вписанной окружности лежит на биссектрисе. Биссектриса в равнобедренном треугольнике является высотой и медианой, ∠BDO=90, BD=BC/2=a/2, MO=MN/2.

Радиус перпендикулярен касательной, ∠OBM=90.

Накрест лежащие углы при параллельных равны, ∠MOB=∠OBD.

△MOB~△OBD (по двум углам)

MO/OB=OB/BD (MN/2) / r=r / (a/2) MN=4r^2/a

В трапецию вписана окружность, h=2r.

S=MN*h = 4r^2/a * 2r = 8r^3/a