В треугольник ABC вписана окружность, которая касается сторон AB, BC, и CA, в точках P, Q и R. Найдите AP, если AB=82, BC=65, CA=41

Question

Геометрия

Лидара

22 марта, 06:44

В треугольник ABC вписана окружность, которая касается сторон AB, BC, и CA, в точках P, Q и R. Найдите AP, если AB=82, BC=65, CA=41

+1

Ответы (1)

Знаете ответ на вопрос?

Гонимир · Answer 1

Так как длины отрезков касательных, проведенных к окружности из одной точки равны, то AR = AP, BP = BQ, CQ = CR.

Для удобства обозначим попарно равные отрезки AR = AP = X, BP = BQ = Y, CQ = CR = Z.

Тогда:

АВ = Х + Y = 10. (1).

AC = X + Z = 5. (2).

BC = Y + Z = 12. (3).

Решим систему их трех уравнений методом сложения.

Вычтем из первого уравнения второе.

(X + Y) - (X + Z) = 10 - 5.

Y - Z = 5.

Прибавим третье уравнение к последнему.

(Y + Z) + (Y - Z) = 12 + 5.

2 * Y = 17.

Y = 17 / 2 = 8,5 cm.

Подставим значение Y и найдем X и Z.

Х + 8,5 = 10.

Х = 10 - 8,5 = 1,5 см.

Z = 12 - Y = 12 - 8,5 = 3,5 cм.

Тогда: AR = AP = 1,5 см, BP = BQ = 8,5 см, CQ = CR = 3,5 см.

Ответ: AR = AP = 1,5 см, BP = BQ = 8,5 см, CQ = CR = 3,5 см.