Сообщение о треугольниках

Треуго́льник - простейший многоугольник, имеющий 3 вершины (угла) и 3 стороны; часть плоскости, ограниченная тремя точками, и тремя отрезками, попарно соединяющими эти точки.

Если все три точки треугольника лежат на одной прямой, он называется вырожденным.

1. Свойства и особенности треугольников

Трём точкам пространства, не лежащим на одной прямой (и образуемому ими невырожденному треугольнику), обязательно соответствует одна и только одна плоскость. Это весьма уникально - так как меньшему количеству точек соответствуют прямая и точка, а уже четыре точки могут находится вне единой плоскости.[1]

Треугольник - это часть плоскости, ограниченная минимально возможным количеством сторон. Любой многоугольник можно точно разбить на треугольники, лишь связав его вершины отрезками, не пересекающими его стороны. С некоторым приближением, на треугольники можно разбить поверхность любой формы, как на плоскости так и в пространстве. Процесс разбиения на треугольники называется триангуляция.

Существует раздел математики, целиком посвящённый изучению закономерностей треугольников - Тригонометрия.

Треугольник, когда не вырожден - всегда выпуклый многоугольник.

Для треугольника всегда существует одна вписанная и одна описанная окружность.

2. Обозначения

Стандартные обозначения

Точки вершин треугольника традиционно обозначаются заглавными латинскими буквами (A, B, C), величины углов при соответственных вершинах - греческими буквами (α, β, γ), а длины противоположных сторон - прописными латинскими буквами (a, b, c).

3. Признаки равенства треугольников

Треугольник однозначно (с точностью до конгруэнтности) можно определить по следующим тройкам основных элементов:

a, b, γ (равенство по двум сторонам и углу лежащему между ними) ;

a, β, γ (равенство по стороне и двум прилежащим углам) ;

a, b, c (равенство по трём сторонам).

Признаки равенства прямоугольных треугольников:

по катету и гипотенузе;

по двум катетам;

по катету и острому углу;

по гипотенузе и острому углу.

4. Типы треугольников

Типы треугольников

Остроугольный

Тупоугольный

Прямоугольный

Разносторонний

Равнобедренный

Равносторонний

4.1. По величине углов

сумма углов треугольника равна 180°.

Поскольку сумма углов треугольника равна 180°, то не менее двух углов в треугольнике должны быть острыми (меньшими 90°). Выделяют следующие виды треугольников:

Если все углы треугольника острые, то треугольник называется остроугольным;

Если один из углов треугольника тупой (больше 90°), то треугольник называется тупоугольным;

Если один из углов треугольника прямой (равен 90°), то треугольник называется прямоугольным. Две стороны, образующие прямой угол, называются катетами, а сторона, противолежащая прямому углу, называется гипотенузой.

4.2. По числу равных сторон

Разносторонним называется треугольник, у которого длины трёх сторон различны.

Равнобедренным называется треугольник, у которого две стороны равны. Эти стороны называются боковыми, третья сторона называется основанием. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Высота, медиана и биссектриса равнобедренного треугольника, опущенные на основание, совпадают.

Равносторонним называется треугольник, у которого все три стороны равны. В равностороннем треугольнике все углы равны 60°, а центры вписанной и описанной окружностей совпадают.

Треугольник - это геометрическая фигура, состоящая из трёх точек плоскости, не лежащих на одной прямой, соединённых отрезками.

Виды треугольников: остроугольный, прямоугольный, тупоугольный, равнобедренный, равносторонний.

Медиана треугольника-это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противолежащей стороне этого треугольника.

Биссектрисой треугольника называется отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину с точкой на противолежащей стороне этого треугольника.

Высотой треугольника называется перпендикулятор, проведенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону этого треугольника.