В треугольнике ABC угол C - тупой и АВ=4. Докажите, что сумма длин медиан треугольнике меньше 9

Тупоугольный треугольник АВС

Угол А тупой

Сторона ВС = 4

Медианы АЕ, BF, CD

Координаты вершин

A (x; y)

B (2; 0)

C (-2; 0)

D ((2+x) / 2; y/2)

E (0; 0)

F ((x-2) / 2; y/2)

Тупоугольным треугольник будет только если вершина А лежит внутри окружности, построенной на стороне CD и диаметром 4

AE² = x² + y² < 2²

|AE| < 2

Медиана АЕ меньше 2

Медиана ВF

ВF² = (2 - (x-2) / 2) ² + y²/4 = 1/4 * (x² - 12x + y² + 36)

Медиана СD

CD² = ((2+x) / 2+2) ² + y²/4 = 1/4 * (x² + 12x + y² + 36)

Сумма медиан CD и BF

S (x; y) = 1/2*sqrt (x² - 12x + y² + 36) + 1/2*sqrt (x² + 12x + y² + 36)

Производная по x, ищем экстремум

dS/dx = 1/4 * ((2 (x - 6)) / sqrt (x² - 12x + y² + 36) + (2 (x + 6)) / sqrt (x² + 12x + y² + 36)) = 0

(x - 6) / sqrt (x² - 12x + y² + 36) + (x + 6) / sqrt (x² + 12x + y² + 36) = 0

Числитель

(x - 6) * sqrt (x² + 12x + y² + 36) + (x + 6) * sqrt (x² - 12x + y² + 36) = 0

Тривиальное решение

х = 0 для любого y

Знаменатель при этом неважен, лишь бы оставался ненулевым

Это экстремум, но минимум или максимум - пока неизвестно.

Для определения проще всего вычислить значение S (0; 2) и S (1; 2)

S (0; 2) = 1/2*sqrt (4 + 36) + 1/2*sqrt (4 + 36) = sqrt (40) ≈ 6,325

S (1; 2) = 1/2*sqrt (1 - 12 + 4 + 36) + 1/2*sqrt (1 + 12 + 4 + 36) = 1/2*sqrt (29) + 1/2*sqrt (53) ≈ 6,333

Т. е. при x = 0 имеется минимум суммы длин медиан

Минимальной суммой медиан к боковым сторонам обладает равнобедренный треугольник

Производную по y можно не брать, т. к. по y сумма длин - функция возрастающая и максимальное значение суммы длин будет при максимальном значении y

Но из условия тупоугольности треугольника у нас y не может превосходить 2

Медиана к основанию тоже не превосходит 2, поэтому значение сумм длин всех трёх медиан будет не превосходить

S (0; 2) + 2 = 2 + sqrt (40) ≈ 8,325

Что меньше требуемых по условию 9