Окружность, вписанная в треугольник ABC, касается сторон BC и AC

в точках M и N соответственно, E и F - середины сторон AB и AC

соответственно. Прямые MN и EF пересекаются в точке D.

а) Докажите, что треугольник DFN равнобедренный.

б) Найдите площадь треугольника BED, если AB = 20 и ∠ABC=60°

Я сделаю исключение для этой задачки. Потому что результат озадачил и меня. В конце скажу - почему.

1) Тут все очень просто. ∠NMC = ∠FDN; но CN = CM; = > ∠NMC = ∠MNC = ∠FND; то есть FD = FN (лежат напротив равных углов в треугольнике FND)

2) А вот тут - занятно. Я приведу полное решение, половину можно было бы не писать.

Пусть BC = a; AC = b; AB = c; AN = AK (K - третья точка касания) = x; BK = BM = y; CM = CN = z;

x + y = c;

x + z = b;

y + z = a;

Откуда z = (a + b - c) / 2; (это записывают еще как p - c) ;

FN = FC - CN = b/2 - (a + b - c) / 2 = (c - a) / 2; это равно FD (см 1))

то есть ED = EF + FD = c/2;

Легко видеть, что треугольник EBD - равнобедренный, EB = ED = c/2;

Это, в свою очередь, означает, что точка D лежит на биссектрисе угла ABC; причем независимо от того, где находятся точки A и С на касательных из точки B; я не вижу тут кого-то "геометрического" объяснения, что странно. Может, кто-нибудь его видит?

Я рассмотрел случай, когда c > a; обратный случай рассматривается аналогично. То есть средняя линия, параллельная AB, KN и биссектриса угла B тоже пересекаются в одной точке, но уже внутри треугольника.

Площадь равнобедренного треугольника с боковыми сторонами ED = EB = 10 и углом между ними 120 градусов находятся элементарно. В ответе будет 25√3; если я не ошибся.