14 января, 03:29

Окружность, вписанная в треугольник ABC, касается сторон BC и AC

в точках M и N соответственно, E и F - середины сторон AB и AC

соответственно. Прямые MN и EF пересекаются в точке D.

а) Докажите, что треугольник DFN равнобедренный.

б) Найдите площадь треугольника BED, если AB = 20 и ∠ABC=60°

+2
Ответы (1)
  1. 14 января, 04:16
    0
    Я сделаю исключение для этой задачки. Потому что результат озадачил и меня. В конце скажу - почему.

    1) Тут все очень просто. ∠NMC = ∠FDN; но CN = CM; = > ∠NMC = ∠MNC = ∠FND; то есть FD = FN (лежат напротив равных углов в треугольнике FND)

    2) А вот тут - занятно. Я приведу полное решение, половину можно было бы не писать.

    Пусть BC = a; AC = b; AB = c; AN = AK (K - третья точка касания) = x; BK = BM = y; CM = CN = z;

    x + y = c;

    x + z = b;

    y + z = a;

    Откуда z = (a + b - c) / 2; (это записывают еще как p - c) ;

    FN = FC - CN = b/2 - (a + b - c) / 2 = (c - a) / 2; это равно FD (см 1))

    то есть ED = EF + FD = c/2;

    Легко видеть, что треугольник EBD - равнобедренный, EB = ED = c/2;

    Это, в свою очередь, означает, что точка D лежит на биссектрисе угла ABC; причем независимо от того, где находятся точки A и С на касательных из точки B; я не вижу тут кого-то "геометрического" объяснения, что странно. Может, кто-нибудь его видит?

    Я рассмотрел случай, когда c > a; обратный случай рассматривается аналогично. То есть средняя линия, параллельная AB, KN и биссектриса угла B тоже пересекаются в одной точке, но уже внутри треугольника.

    Площадь равнобедренного треугольника с боковыми сторонами ED = EB = 10 и углом между ними 120 градусов находятся элементарно. В ответе будет 25√3; если я не ошибся.
Знаете ответ на вопрос?
Не уверены в ответе?
Правильный ответ на вопрос 👍 «Окружность, вписанная в треугольник ABC, касается сторон BC и AC в точках M и N соответственно, E и F - середины сторон AB и AC ...» по предмету 📗 Геометрия. Развернутая система поиска нашего сайта обязательно приведёт вас к нужной информации. Как вариант - оцените ответы на похожие вопросы. Но если вдруг и это не помогло - задавайте свой вопрос знающим оппонентам, которые быстро дадут на него ответ!
Искать готовые ответы
Новые вопросы по геометрии
По разному думать хорошо или плохо?
Ответы (2)
В триугольнике ABC угол C=90 градусов, BC=9, cosB=3/5, найти AC
Ответы (1)
В прямоугольном треугольнике из вершины прямого угла проведена высота длиной 4 см. Высота делит гипотенузу на отрезки, один из которых равен 16 см. Найдите стороны треугольника.
Ответы (2)
Эксцентриситет эллипса равен корень из 2/2, а сумма расстояний одной из его точек до фокусов равна 4. Найти длину хорды, проходящей через фокус и перпендикулярной к его большой оси.
Ответы (1)
Катеты прямоугольного треугольника равны 5 корень из 3 и 5. Найдите синус наименьшего угла этого треугольника.
Ответы (1)
Две прямые пересекаются, 1 угол 21°; найти остальные углы
Ответы (1)
Где происходит химические выветривание
Ответы (1)
Стороны прямоугольника равны 15 и 2 найдите периметр треугольника
Ответы (2)
Лучи ОА и ОВ разделили развернутый угол на три равных угла. Найти градусные меры углов.
Ответы (1)
В треугольнике ABC угол A равен 72 градусам а угол B в 5 раз меньше угла C Чему равен угол C
Ответы (1)