Постройте график функции y = (x2 + 4) (x-1) / 1-x и определите, при каких значениях k прямая y=kx имеет с графиком ровно одну общую точку.

Заданная функция y = (x² + 4) (x-1) / (1-x) равносильна функции у = - х² - 4 если х не принимает значение, равное 1.

Это уравнение параболы ветвями вниз, симметричной оси Оу с вершиной в точке (0; - 4).

Заданная прямая y=kx, имеющая с графиком ровно одну общую точку, - это касательная к графику, проходящая через начало координат.

Уравнение касательной: у = y' (xo) (x - xo) + y (xo).

Производная равна - 2 х.

Производная y' (xo) в точке хо равна - 2 хо.

Функция y (xo) в точке хо равна - хо² - 4.

Значения х и у подставим (0; 0).

0 = - 2 хо (0 - xo) - хо² - 4 ...

0 = 2 хо² - хо² - 4.

Отсюда хо² = 4, хо = + - 2.

Угловой коэффициент касательной равен производной в точке касания.

Получаем 2 ответа: у = - 2*2 х = - 4 х,

у = - 2 * (-2) х = 4 х.