Высота прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, равна 12 см. может ли гипотенуза иметь длину 20 см?

Не может.

Можно рассуждать двумя способами.

1) Радиус описанной вокруг такого треугольника окружности тогда равен 12. Значит гипотенуза должна быть равна диаметру 24 см.

2) Если обозначить части гипотенузы, на которые ее делит проведенная высота за х и у, а катеты за а и b, то по основному свойству треугольника имеем: a>x+12 b>y+12 a+b> (x+y) + 24 (x+y=20 по условию) a+b> 44

По теореме Пифагора имеем: a*a+b*b=20*20=400 что не возможно, если выполнено предыдущее равенство a+b>44