Радиус описанной около равностороннего треугольника окружности равен 10 см. Найдите периметр этого треугольника и радиус вписанной окружности.

Дано: равносторонний треугольник АВС, R = 10 см

Найти: P - ?

Решение:

1. Радиус описанной окружности вокруг равностороннего треугольника равен двум радиусам вписанной в него окружности = > r = 10:2 = 5 см.

2. Если сложить два радиуса, то мы получим высоту, медиану и биссектрису треугольника одновременно, так как он равносторонний = > этот отрезок равен 5 + 10 = 15.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, который отсёк этот отрезок (прямоуг. т. к. высота). Одна из сторон будет равна Х, другая - 2 Х (т. к. Х - половина стороны р/ст треугольника, которую отсекла медиана, являющаяся высотой)

По теореме Пифагора находим Х:

4 х² - х² = 225

3 х² = 225

х² = 75

х = 5√3 и х = - 5√3, но этот корень не подходит по усл., а значит он посторонний

3. 5√3 - половина стороны, значит вся сторона = 10√3

Р = 3 * 10√3 = 30√3

Ответ: 30√3.