Катеты прямоугольного треугольника равны 3 и 4. Найдите длину биссектрисы прямого угла треугольника.

С=90, CD - биссектриса

AD1||CB: △CD1A - прямоугольный с углом 45, AD1=AC, CD1=AC√2

A1B1||AB: ABB1D1 - параллелограмм, BB1=AD1 = AC

B1C=BC+BB1 = BC+AC

△ABC~△A1B1C (по трем сторонам), k=BC/B1C = BC / (BC+AC)

CD=CD1*k = AC*BC√2 / (AC+BC) = 12√2/7

Или

S (ACD) = AC*CD*sin45 / 2

S (BCD) = BC*CD*sin45 / 2

S (ABC) = S (ACD) + S (BCD)

AC*BC/2 = (AC+BC) CD*sin45 / 2

CD=AC*BC√2 / (AC+BC) = 12√2/7