В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС высоты ВТ и СН пересекаются в точке К, причем ВН = 12, КН=4. Найдите площадь треугольника СВК.

KH=4, BH=12

BT - высота и биссектриса в равнобедренном треугольнике,

∠KBH=∠B/2

KH/BH = tg (∠B/2) = 4/12=1/3

CH/BH = tg (∠B)

tg (∠B) = 2tg (∠B/2) / (1-tg^2 (∠B/2)) = 2/3 : 8/9 = 3/4

(CK+KH) / BH = 3/4 CK = BH * 3/4 - KH = 12*3/4 - 4 = 5

S (CKB) = CK*BH/2 = 5*12/2 = 30

ИЛИ

BK^2=BH^2+KH^2 = 12^2 + 4^2 = 160

∠BKH=∠CKT (вертикальные), ∠KBH=∠CBT (BT - высота и биссектриса в равнобедренном треугольнике)

△BHK~△CTK~△BTC (прямоугольные, по острому углу)

BH/KH = CT/KT = BT/CT = 12/4 = 3

KT=x, CT=3x, BT=9x

BK=BT-KT=9x-x=8x

CT=BK*3/8

S (BKC) = BK*CT/2 = BK^2 * 3/16 = 160*3/16 = 30