В прямоугольном треугольнике длина медианы, проведённой к гипотенузе равна 6,5 см. периметр треугольника 30 см. найдите длину меньшего из катетов треугольника.

Медиана в прямоугольном треугольнике, проведённая к гипотенузе, равна половине гипотенузы.

Тогда гипотенуза равна 2•6,5 см = 13 см.

Сумма катетов равна P∆ - длина гипотенузы, т. е. сумма катетов a + b = 30 см - 13 см = 17 см

По теореме Пифагора:

a² + b² = 13²

a + b = 17

a² + b² = 169

b = 17 - a

a² + (17 - a) ² = 169

b = 17 - a

a² + 289 - 34a + a² = 169

b = 17 - a

2a² - 34a + 120 = 0

b = 17 - a

a² - 17a + 60 = 0

b = 17 - a

По обратной теореме Виета:

a1 + a2 = 17

a1•a2 = 60

a1 = 5

a2 = 12

Тогда ментшиц катет равен 5 см (т. к. катета взяты случайным образом)

Ответ: 5 см.