Существует вписанный четырехугольник с отношением мер углов 1:2:4:3

Да.

у вписанного сумма противоположных углов равна.

противоположные углы - 1 и 4 единицы - в сумме = 5 единиц.

2 и 3 единицы - в сумме = 5 единиц

Найдём углы четырехугольника. пусть к - коэффициент пропорциональности, тогда: к° - один угол; 2 к° - второй угол; 4 к° - третий угол; 3 к° - четвёртый угол. сумма углов четырехугольника равна 180 (n-2) = 180 (4-2) = 360°; к+2 к+4 к+3 к=360; к=36° один угол; 2*36=72° второй угол; 4*36=144° третий угол; 3*36=108° четвёртый угол; Четырехугольник можно вписать в окружность только тогда, когда сумма противоположных углов равна 180°; В нашем случае: 36+144=180°; 72+108=180°; ответ: существует