Доказать, что сумма расстояний от любой точки, взятой внутри правильного многоугольника, до всех прямых, содержащих его стороны, есть величина постоянная.

(Задача не из легких, так как случай общий; буду благодарен за разумное расписанное решение)

Пусть дан правильный многоугольник со стороной равной а. Соединим любую точку А, взятую внутри правильного многоугольника со всеми вершинами многоугольника и проведем перпендикуляры на все стороны. Обозначим их длины d1, d2, d3, ..., dn. Площадь многоугольника S=1/2*a * (d1+d2+d3+ ...+dn). Отсюда d1+d2+d3+ ...+dn=2S/a. Значит сумма расстояний не зависит от выбора точки.