Площадь поверхности сферы, вписанной в конус, равно 100 П. Длина окружности, по которой сфера касается поверхности конуса, равно 6 П. Найдите радиус основания конуса

Для начала находим радиус сферы их формулы ее площади S = 4*п*R*R, то есть: R = корень (S / (4 п)) = корень (100 п/4 п) = корень (25) = 5

Теперь найдем радиус окружности по которой конус качается сферы из формулы длины окружности: L = 2*п*r или r = L/2 п = 6 п/2 п = 3

Теперь рассмотрим осевое сечение конуса в котором центр вписанной сферы лежит ниже центра окружности касания на величину x = корень (R*R - r*r) = корень (5*5-3*3) = 4

Из подобия треугольников в этом сечении видим, что угол у основания конуса (между образующей и основанием) равен углу между высотой конуса и радиусом вписанной сферы в точку ее касания с боковой поверхностью. То есть синус этого угла ф равен r/R (а косинус x/R)

С другой стороны радиус сферы R и радиус основания Ro относятся как тангенс половины угла ф: tg (ф/2) = R/Ro или Ro = R/tg (ф/2)

tg (ф/2) = (1-cos (ф)) / sin (ф) = (1-4/5) / (3/5) = 1/3

Получаем окончательно

Ro = 5 / (1/3) = 15