Из точки пересечения биссектрис равнобедренного треугольника опущен перпендикуляр к боковой стороне, что делит ее на отрезки, разница между которыми 4 см. Эта точка делит биссектрису, проведенную к основанию, на отрезки в отношении 5: 3. Вычислите периметр треугольника, если угол при основании треугольника меньше 60 °.

Пусть треугольник АВС, АВ=ВС, АА1 и ВВ1 - биссектрисы, О - точка пересечения биссектрис, ОН - перпендикуляр к боковой стороне ВС.

1) В треугольнике АВВ1 биссектриса АО делит сторону ВВ1 на отрезки в отношении 5:3, по свойству биссектрисы АВ: АВ1=5:3

2) Пусть х - коэф. пропорциональности, тогда АВ=5 х, АВ1=3 х и по теореме Пифагора ВВ1 = 4 х

3) Так как ВО: ОВ1=5:3, следовательно ВО = (4 х: 8) ·5=2,5 х

4) СН-ВН=4, СН+ВН=5 х⇒2 ВН=5 х-4⇒ВН=2,5 х-2

5) Треугольники СВВ1 и ОВН подобны (по трем равным углам) из подобия составим пропорцию:

5 х/2,5 х=4 х/2,5 х-2⇒х=4

6) Периметр 5 х+5 х+6 х=16 х=64