Из цилиндрическог стержня изготовили максимальное количество гаек квадратной формы со стороной 12 см с минимальным расходом материала. В каждой гайке проделали отверстие диаметром 6 см. Найдите диаметр стержня и сколько процентов от объема стержня составляют отходы при переработке?

Стержень - это цилиндр высотой Н и радиусом R.

Квадратные гайки - это прямоугольный параллелепипед высотой Н и основанием - квадрат со стороной а=12 см. Чтобы был минимальный расход материала, нужно прямоугольный параллелепипед вписать в цилиндр. Значит диаметр стержня D будет равен диагонали квадрата d:

D=d=a√2=12√2.

Объем стержня Vс=πR²H=πD²H/4=π*288H/4=72πH.

Объем прям. параллелепипеда Vп=a²H=144H.

Объем проделанного отверстия радиусом r=6/2=3:

Vо=πr²H=9πH.

Найдем отходы V=Vc-Vп+Vo=72πН-144 Н+9πН=9 Н (9π-16)

Процент отходов от объема %=V*100/Vc=9 Н (9π-16) * 100/72πН=12,5 (9π-16) / π=112,5-200/π≈112,5-63,69=48,81%