В прямоугольном треугольнике АВС катеты АС и АВ равны. Найдите отношение площадей вписанного описанного кругов.

Радиус описанной около прямоугольного треугольника окружности равен половине гипотенузы (свойство). Гипотенуза равнобедренного треугольника равна а*√2, где а - катет. Тогда R=а*√2/2, а площадь описанного круга равна So=π*R² илиSo=π*а²*/2. Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности равен r = (a+b-c) / 2 (формула). У нас a=b (катеты), с = а*√2. Тогдаr=a (2-√2) / 2Sв=π*r² = π*a² (2-√2) ²/4. Отношение

Sв/Sо = (π*a² (2-√2) ²/4) / (π*а²*/2) = (2--√2) ²/2 = (4-2√2+2) / 2 = 3 - √2.

Ответ: Sв/Sо = 3 - √2.