1. Две стороны треугольника равны 14 и 8 см, а косинус угла между ними равен 6/7. Найдите площадь этого треугольника.

2. Даны точки А (0; 0), B (2; 2), C (5; -1). Найдите скалярное произведение вектора АС и СВ. Докажите, что треугольник АВС - прямоугольный.

1) Решение имеет 2 варианта:

а) через синус известного угла найти высоту H треугольника,

тогда S = (1/2) * Н*в.

б) по теореме косинусов найти третью сторону треугольника, а площадь определить по формуле Герона.

а) sin C = √ (1-cos²C) = √ (1 - (6/7) ²) = √ (1 - (36/49) = √ (13/49) = √13/7

H = 14*√13/7 = 2√13

S = (1/2) * (2√13) * 8 = 8√13 = 28.84441.

б) с = √ (а²+в²-2*а*в*cos C) = √ (14²+8²-2*14*8 * (6/7)) = √ (196 + 64 - 192) = √ 68 =

= 8.246211. p = (14+8 + 8.246211) / 2 = 15.12311

S = √ (p (p-a) (p-b) (p-c)) = 28.84441.

2) АС = (5-0=5; - 1-0=-1) АС (5; - 1)

СВ = (2-5=-3; 2 - (-1) = 3) СВ (-3; 3)

Скалярное произведение АС*СВ = Х1*Х2+У1*У2 = 5 * (-3) + (-1) * 3 = - 15-3 = - 18.

cos B = | (XBA*XBC+YBA*YBC) / (|AB|*|BC|) | = | (-2*3+-2*-3) / (2.8284*4.2426) | =

= 0/12 = 0. В = arc cos 0 = 90 градусов - треугольник прямоугольный.