В треугольнике ABC стороны AB=10, AC=24, BC=26. В треугольнике проведены медианы AM и CN, точки M и N - середины сторон BC и AB, соответственно. Точка I лежит на стороне AC, при этом BI - биссектриса. Найдите площадь треугольника MNI.

Можно заметить что это прямоугольный треугольник с гипотенузой BC=26, так как стороны удовлетворяют теореме Пифагора. MN - средняя линия треугольника MN=AC/2=12. Положим что AI=x, IC=24-x по теорема о биссектрисе x / (24-x) = 10/26=5/13, откуда AI=x=20/3, CI=52/3.

S-площадь

S (ABC) = S (ANI) + S (BNM) + S (CMI) + S (MNI)

1) S (ABC) = 24*10/2=120

2) S (BNM) = S (ABC) / 4=30

3) S (ANI) = AN*AI/2 = 5 * (20/3) / 2 = 50/3

4) S (CMI) = CI*CM*sinMCI/2 = 13 * (52/3) * (5/13) / 2 = 130/3

S (MNI) = 120 - (30+50/3+130/3) = 30