Длины сторон некоторого треугольника и диаметр вписанной в него окружности являются четыремя последовательными членами возрастающей арифметической прогрессии, Найдите все такие треугольники.

Question

Геометрия

Алексаха

16 марта, 20:36

Длины сторон некоторого треугольника и диаметр вписанной в него окружности являются четыремя последовательными членами возрастающей арифметической прогрессии, Найдите все такие треугольники.

+2

Ответы (1)

Знаете ответ на вопрос?

Петяша · Answer 1

Решение

Все треугольники, длины сторон которых пропорциональны 3, 4 и 5 (Египетский треугольник). В любом треугольнике 2 r0. Ясно, что a=2 r+d, b=2r+2 d, c=2r+3 d и p = = 3r+3 d. Поскольку в любом треугольнике S=pr и S =, то pr = или pr2 = (p-a) (p-b) (p-c). Выразив в данном равенстве все величины через r и d получим

(3r+3d) r2 = (r+2d) (r+d) r,

откуда 3r=r+2 d, т. е. r=d, так как r>0, r+d>0. Следовательно, стороны равны 3 r, 4 r, 5 r.

Ответ

Все треугольники, длины сторон которых пропорциональны 3, 4 и 5 (Египетский треугольник).