придумайте интересную задачу про треугольники

с

Треугольники ABC и DEF вписаны в одну и ту же окружность. Доказать, что равенство их периметров равносильно условию sin A + sin B + sin C = sin D + sin E + sin F.

Доказательство.

Рассмотрим треугольник ABC. Согласно теореме синусов

AB/sin C = BC/sin A = AC/sin B = 2R или

sin C/AB = sin A/BC = sin B/AC = 1 / (2R).

sin C = AB / (2R) ; sin A = BC / (2R) ; sin B = AC / (2R).

sin A + sin B + sin C = (BC + AC + AB) / (2R) = P1 / (2R).

sin A + sin B + sin C = P1 / (2R), где P1 - периметр треугольника ABC.

Аналогично, из треугольника DFE имеем:

sin D + sin E + sin F = (EF + DF + DE) / (2R) = P2 / (2R), где P2 - периметр треугольника DFE.

Легко видеть, что если P1 = P2, то sin A + sin B + sin C = sin D + sin E + sin F и наоборот.

Задача 2.