В кубе A ... D1 найдите косинус угла между ребром AA1 и плоскостью AB1D1.

Угол между ребром АА1 и плоскостью треугольника АВ1D1 равен углу между ребром АА1 и его проекцией на плоскость треугольника АВ1D1.

Проведем В1D1. На середине В1D1 поставим точку Е1, и проведем отрезок АЕ1. Угол А1 АЕ1 и будет искомым. Если ребро куба равно а, то В1D1=а*√ (2). Проведем А1 Е1. Очевидно, что А1 Е1=В1 Е1=Е1D1=а*√ (2) / 2. АЕ1 вычисляем по Пифагору, АЕ1=а*√ (3/2). Косинус искомого угла равен а/а*√ (3/2) = √ (2/3).