Синус двугранного угла при боковом ребре правильной четырехугольной пирамиды равен 12/13. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды, если площадь её диагонального сечения равна 7 корней из 13.

Проведем DK⊥SC.

ΔDKC = ΔBKC по двум сторонам и углу между ними (DC = BC как стороны квадрата, КС - общая, углы при вершине С равны, так как боковые грани - равные равнобедренные треугольники).

Тогда и ВК⊥SC, значит

∠DKB - линейный угол двугранного угла при боковом ребре пирамиды.

Обозначим его α.

sinα = 12/13

SC⊥DKB (ребро SC перпендикулярно двум пересекающимся прямым этой плоскости), ⇒

SC⊥OK.

Тогда отрезок ОК параллелен высоте треугольника ASC, проведенной из вершины А (обозначим ее h), и равен ее половине.

Sasc = 1/2 · SC · h = 1/2 · SC · 2OK = SC·OK = 7√13 (1)

ΔOKD: OK = KD · cos (α/2)

Угол α тупой, т. к. sin (α/2) = OD/DK > OD/DC = 1/√2

cos α = - √ (1 - sin²α) = - √ (1 - 144/169) = - √ (25/169) = - 5/13

cos (α/2) = √ ((1 + cos α) / 2) = √ ((1 - 5/13) / 2) = √ (8/26) = √ (4/13) = 2/√13

Вернемся к ΔOKD:

ОК = KD · cos (α/2) = KD · 2/√13

Подставим в равенство (1) :

SC · KD · 2/√13 = 7√13

SC · KD = 7√13 · √13 / 2 = 91/2

Но KD - высота боковой грани SCD, проведенная к ребру SC.

Sscd = 1/2 · SC · KD = 1/2 · 91/2 = 91/4

Тогда площадь боковой поверхности:

Sбок = 4 · Sscd = 4 · 91/4 = 91