1 задача

Дано: А (1; -2) В (2; 4) С (-1; 4) D (1; 16)

а) Разложить вектор АВ по i, j.

б) Найти расстояние АВ

в) Найти координаты середины СD.

2 задача

Дано: А{-4; 1} B (0; 1) С (-2; 4)

Доказать что угол А равен углу В

3 задача

Треугольник АВС задан своими координатами:

А (0; 1) В (1; -4) С (5; 2) D - середина ВС

Доказать что АD перпендикулярна BC

Найти высоту АD

Дано: А (1; -2) В (2; 4) С (-1; 4) D (1; 16).

а) Разложить вектор АВ по i, j.

АВ = i * (2-1), j * (4 - (-2)) = i, 6j.

б) Найти расстояние АВ.

АВ = √ (1²+6²) = √37 ≈ 6,082763.

в) Найти координаты середины СD.

Пусть это точка Е.

Е ((-1+1) / 2=0; (4+16) / 2=10) = (0; 10).

2) Дано: А{-4; 1} B (0; 1) С (-2; 4)

Доказать что угол А равен углу В.

Эту задачу можно решить двумя способами:

а) по координатам определить длины сторон треугольника АВС и, если стороны против углов А и В равны, то и углы равны.

б) применить векторный способ.

а) АВ = √ ((Хв-Ха) ² + (Ув-Уа) ²) = √16 = 4,

BC = √ ((Хc-Хв) ² + (Ус-Ув) ²) = √13 ≈ 3,605551275,

AC = √ ((Хc-Хa) ² + (Ус-Уa) ²) = √13 ≈ 3,605551275.

Углы А и В равны.

б) Вектор АВ (4; 0),

Вектор АС (2; 3).

cosA = (4*2+0*3) / (√16*√ (2²+3²) = 8 / (4√13) = 2/√13.

Вектор ВА (-4; 0),

Вектор ВС (-2; 3)

cosB = (-4 * (-2)) / (√16*√ ((-2) ²+3³) = 8 / (4√13) = 2/√13.

Косинусы углов равны, значит, и углы А и В равны.

3) Треугольник АВС задан своими координатами:

А (0; 1) В (1; -4) С (5; 2), D - середина ВС

Доказать что АD (медиана) перпендикулярна BC.

Находим координаты точки Д:

Д ((1+5) / 2=3; (-4+2) / 2=-1) = (3; -1).

Определим уравнения стороны ВС и медианы АД.

ВС: (х-1) / 4 = (у-5) / 6,

АД: х/3 = (у-1) / - 2.

Их направляющие векторы: ВС (4; 6), АД (3; -2)

Скалярное произведение равно 4*3+6 * (-2) = 12-12 = 0.

Это условие перпендикулярности прямых.

4) Высота АД равна √ (3² + (-2) ²) = √ (9+4) = √13 ≈ 3,605551.