В. 2

Дано правильную треугольную пирамиду, апофема которой равняется L. Боковая грань пирамиды образует с основанием угол β. Найдите:

а) высоту пирамиды

б) радиус круга, вписанного в основание пирамиды

в) сторону основания пирамиды

г) площадь основания пирамиды

д) площадь боковой поверхности пирамиды

е) площадь полной поверхности пирамиды

Обозначим:

Н - высота пирамиды

h - высота основания пирамиды

r - радиус окружности, вписанной в основание

а - сторона основания

Решение

а) высота пирамиды Н = L· sinβ

б) проекция апофемы на плоскость основания - это радиус вписанной окружности r = L · cosβ.

в) сторона основания пирамиды а = 2r/tg 30° = 2L· cosβ / (1/√3) =

= 2√3 · L·cosβ

г) площадь основания пирамиды Sосн = 0.5h·a, где h = a·cos30°.

Тогда Sосн = 0.25a²·√3 = 0.25 · √3 · (2√3 · L·cosβ) ² = 3√3L² · cos²β

д) Площадь боковой поверхности пирамиды

Sбок = 3 · 0,5 · L · a = 1.5L · 2√3 · L·cosβ = 3√3 · L² · cosβ

e) площадь полной поверхности пирамиды:

Sполн = Sосн + Sбок = 3√3 · L² · cos²β + 3√3 · L² · cosβ =

= 3√3 · L² · cosβ · (cosβ + 1)