В равнобедренном треугольнике с углом 30 градусов при основании, длина которого равна 4, найти радиус описанной окружности

Пусть у нас треугольник ABC - равнобедренный с основанием AC=4 и AB=BC.

∠A равен ∠C и равен 30°.

Пусть вокруг треугольника ABC описана окружность с центром в точке O и радиуса R.

Обозначим точку пересечения радиуса OB со стороной AB как M.

Тогда ∠A опирается на дугу окружности BC. Следовательно, градусная мера дуги BC равна 2 градусным мерам ∠A, т. е. 2*30°=60°.

Градусная мера центрального угла BOC, опирающегося на ту же дугу BC, равна градусной мере дуги BC, т. е. ∠BOC = 60°.

Треугольник BOC имеет равные стороны OB и OC (это радиусы окружности) и угол между ними в 60°. Значит, этот треугольник равносторонний и сторона BC равна ОB, т. е. R.

При этом AM = MB = AB/2 = 2.

BM = MO = R/2.

Из треугольника BMC по теореме Пифагора находим R:

BC²=BM²+MC²

R² = (R/2) ²+2²

4R²=R²+16

R²=16/3

R=4/√3=4√3/3