Дан прямоугольный треугольник ABC с прямым углом c через центр O вписанной треугольник окружности проведен луч BO, пересекающий катет AC в точке M. Известно что AM = 8 корней 3 угол А = углу MBC. Найдите гипотенузу

Центр вписанной в треугольник окружности лежит в точке пересечении биссектрис этого треугольника. Значит ВМ - это биссектриса угла В (<МВА=<МВС=<В/2=<А). Получается, что <В=2<А.

Т. к. <В+<А=90°, то <А=30°, а <В=60°.

ΔАМВ - равнобедренный (АМ=ВМ=8√3), т. к. углы при основании равны.

Из прямоугольного ΔМВС

МС=ВМ/2=8√3/2=4√3 (катет против угла 30° равен половине гипотенузы)

ВС=√ (ВМ²-МС²) = √ (192-48) = √144=12

Из прямоугольного ΔАВС

ВС=АВ/2 (катет против угла 30° равен половине гипотенузы)

АВ=2 ВС=2*12=24