В треугольнике ABC даны длины сторон: AB=c, AC=b, BC = А. Через точку О пересечения биссектрис внутренних углов треугольника проведены прямые, параллельные сторонам треугольника

Найти длины отрезков этих прямых, заключённых внутри треугольника АВС.

Указание: воспользуйтесь следующим свойством треугольника: точка пересечения биссектрис является центром вписанной в треугольник окружности.

Рассмотрим только один случай из трех.

ABC-треугольник, опустим высоту CH на сторону AB и AF на сторону BC, центр вписанной окружности лежит в точке пересечения биссектрис, положим что DE || AC опустим перпендикуляры OL=r и OG=r на стороны AB и BC соответственно (r-радиус вписанной окружности).

Из подобия треугольников ODL и CAH получаем

DO/LO = AC/CH = 1/sin (BAC)

DO=r/sin (BAC)

Но r=S/p = AB*AC*sinA / (AB+AC+BC) значит

DO=AB*AC / (AB+AC+BC) = b*c / (a+b+c)

Аналогично

OE/OG=AC/CF=1/sin (ACB)

OE=r/sin (ACB)

OE=AC*BC / (AC+BC+AB) = a*b / (a+b+c)

Значит DE=DO+OE=b (a+c) / (b+a+c)

Остальные так же, отрезок параллельный AB || c (a+b) / (a+b+c), BC || a (b+c) / (a+b+c)