Парабола проходит через точки пересечения прямой y-x=0 с окружностью x^2+y^2+2x=0 и симметрична относительно оси Ox. Найти каноническое уравнение этой параболы

Найдём точки пересечения прямой y-x=0 с окружностью x²+y² + 2x=0.

Из уравнения y-x=0 находим у = х и подставляем в уравнение окружности x ²+y² + 2x=0.

x²+х² + 2x=0,

2 х ²+2 х = 0,

2 х (х + 1) = 0.

Получаем 2 точки: х ₁ = 0 и х₂ = - 1, а так как по заданию у = х, то

у ₁ = 0 а у₂ = - 1.

То есть одна точка О - начало координат, а вторая точка А (-1; -1).

А так как парабола симметрична относительно оси Ox и проходит через точку А (-1; -1) с отрицательной абсциссой, а ее осью служит ось Ox, то уравнение параболы следует искать в виде у² = - 2px.

Подставляя в это уравнение координаты точки A, будем иметь:

(-1) ² = - 2 р * (-1), 1 = 2 р, р = 1/2.

Ветви параболы направлены в отрицательном направлении оси Ох.

Имеем у² = - 2 (1/2) x, или у ² = - х.