4. В треугольнике ABC точка D лежит на стороне BC, прямая AD пересекается с биссектрисой угла ACB в точке O. Известно, что точки C, D и O лежат на окружности, центр которой находится на стороне AC, AC : AB = 3 : 2, а величина угла DAC в три раза больше величины угла DAB. Найти косинус угла ACB.

Пусть ∠C = 2y, ∠BAD = α, ∠CAD = 3α, CE - диаметр описанной окружности ω треугольника CDO. Тогда ∠ODE = ∠OCE = y, ∠CDE = 90°, ∠DEC = 90° - 2y. Точка A лежит на продолжении отрезка DO за точку O, поэтому она находится дальше от центра ω, чем точка O. Значит, DEC - внешний угол треугольника ADE, откуда ∠DEC = 90° - 2y = 3α + y, то есть α = 30° - y. Поэтому ∠B = 180° - 2y - 4α = 60° + 2y.

По теореме синусов и условию задачи sin2y/sin (60°+2y) = 2/3. После очевидных преобразований получим: 3 sin2y = √3 cos2y + sin2y, tg2y = √3/2, откуда cos²2y=1/1+tag²2y = 4/7, а так как 2y < 90° (как острый угол прямоугольного треугольника CDE), то cos 2y = 2/√7.

Ответ: 2/√7.