Разность сторон правильных треугольника и четырёхугольника, вписанных в одну окружность, равна 2 см. Найдите периметр правильного шестиугольника, описанного около этой окружности.

Пусть R - радиус данной окружности.

Тогда сторона квадрата вписанного в эту окружность:

a = (2R) / √2 = R√2

Сторона правильного треугольника, вписанного в эту окружность равна b.

Тогда высота этого тр-ка:

h = (b√3) / 2

Радиус же равен ⅔ высоты:

R = ⅔h = (b√3) / 3

Отсюда выражаем b:

b = R√3

По условию: b-a=2, R (√3 - √2) = 2

Отсюда радиус данной окр-ти:

R = 2 / (√3 - √2), или домножив на сопряженное знаменателю:

R = 2 (√3 + √2)

Сторона правильного 6-ника описанного около этой окружности:

с = 2R*tg30⁰ = 4√3 (√3 + √2) / 3 = 4 (3+√6) / 3

Тогда периметр:

Р = 6 с = 8 (3+√6)

Ответ: 8 (3+√6) см.