В треугольнике ABC угол С = 90°, угол B = 60°, AB = 8√3 см. Найдите длину медианы CM

В прямоугольном треугольнике угол вас = 30 градусам, а против угла в 30 градусов лежит сторона равная половине гипотенузы, значит вс=4√3, проведём медиану ск, она делит гипотенузу пополам, значит кв=4√3. Рассмотрим треугольник вкс, так как две стороны равны, то треугольник равнобедренный, отсюда следует, что углы равны. Угол вкс = углу вск (в треугольнике 180 градусов, (180-60) : 2=60) Все углы равны, значит треугольник равносторонний ⇒ск=4√3

В треугольнике АВС угол В = 60 градусов, угол С = 90 градусов, тогда, угол В = 90 - 60 = 30 градусов.

Согласно теореме, против угла в 30 градусов лежит катет, который равен половине гипотенузы. Гипотенуза - АВ = 8√3 см, тогда катет, лежащий против угла в 30 градусов (СВ) = 4 √3 см.

Провели медиану СМ. Она делит гипотенузу на две равные части. Отсюда, АМ = МВ = 4 √3 см.

Рассмотрим треугольник МСВ. По теореме косинусов,

СМ ² = СВ² + МВ² - 2*СВ*МВ*cosB

cosB = cos60 = 1/2

СМ² = СВ² + МВ² - СВ*МВ (после преображний во второй части уравнения)

СМ² = (4√3) ² + (4√3) ² - 4√3*4 √3

СМ ² = 16*3 + 16*3 + 16*3

СМ ² = 16 (3+3+3)

СМ ² = 16*9

СМ = √16*√9

СМ = 4*3

СМ = 12 см

Ответ: СМ = 12 (см)