На стороне треугольника АВС отмечена точка D, прямая СD перпендикулярна к медиане АМ, АD:DВ=3:1. AC=3. угол С=60, Найдите ВС

Пусть P - точка пересечения AM и CD; и пусть BP пересекает AC в точке Q;

тогда из теоремы Чевы сразу следует

AQ/QC = AD/DB = 3;

из теоремы Ван-Обеля (следствие теоремы Чевы)

AP/PM = AD/DB + AQ/QC = 6;

Получилось, что в треугольнике CAM 1) угол С = 60°; 2) высота CP делит сторону AM на отрезки в отношении 6:1; 3) AC = 3; этого достаточно, чтобы решить задачу.

Если для краткости записи обозначить CP = h; MP = z; MC = y; AC = a = 3; то легко записать очевидные соотношения

y^2 = z^2 + h^2;

a^2 = (6*z) ^2 + h^2;

(7*z) ^2 = y^2 + a^2 - a*y; (это просто теорема косинусов, косинус 60° равен 1/2; напоминаю, что a = 3)

вычитая из второго уравнения первое, легко найти

a^2 - y^2 = 35*z^2;

остается исключить z, подставить a = 3; и получится квадратное уравнение для y; напомню, что ВС = 2*y;

(y^2 + a^2 - a*y) / 49 = (a^2 - y^2) / 35;

5*y^2 + 5*a^2 - 5*a*y = 7*a^2 - 7*y^2;

12*y^2 - 2*a^2 - 5*a*y = 0;

12y^2 - 15*y - 18 = 0; или BC^2 - (5/2) * BC - 6 = 0;

BC = 5/4 + √ ((5/4) ^2 + 6) = (5 + √ (25 + 16*6)) / 4 = (5 + 11) / 4 = 4; (второй корень отпадает)