Докажите, что медианы, проведенные к боковым сторонам равнобедренного треугольника, равны.

возьмем равнобедренный треугольник АВС, где АВ=ВС, из вершины а на основание ВС проведем медиану АМ, а из вершины С проведем медиану СК на сторону АВ.

рассмотрим треугольник АВМ и треугольник КВС: угол АВМ = углу КВС, как общий;

АВ=ВС, так как треугольник АВС равнобедренный и КВ=ВМ, так как КВ = 1/2 АВ и ВМ = 1/2 ВС, отсюда следует, что треугольник АВМ = треугольнику КВС по двум сторонам и углу между ними, а это значит, что АМ=КС, что и требовалось доказать.

Проведённые медианы в равност. тр-ке (в к-ром все углы равны и равны по60*, и все стороны равны между собой) являются также высотами и биссектрисами углов. Медианы делят тр-к на прямоуг. тр-ки. Рассмотрим их. В них одна сторона общая (медиана), две другие стороны равны, и две другие равны половинам равных сторон и значит, равны между собой. Кроме того, углы между двумя равными сторонами равны. Следовательно все эти тр-ки равны между собой.

Значит их третьи стороны - медианы тоже равны.