Каждая грань параллелепипеда представляет собой ромб с острым углом 60 градусов. Найдите угол между плоскостями, содержащими какие-нибудь две соседние грани. В ответе укажите квадрат его тангенса

Примем длины рёбер за 1.

Р омб с острым углом 60 градусов имеет меньшую диагональ, равную стороне. Половина такого ромба - равносторонний треугольник.

Опустим из точек В и Д перпендикуляры на боковое ребро.

Они пересекутся в точке К.

Треугольник ВКД - равнобедренный. В основании - диагональ ВД = 1.

КВ = КД = 1*cos 30 ° = √3/2.

Искомый угол ВКД равен:

∠BKD = 2arcsin ((1/2) / (√3/2) = 2arcsin (1/√3) = 2arcsin (√3/3) = 70,52878 °.

Тангенс половины угла BKD = α равен:

tg (α/2) = (1/2) / (√ ((√3/2) ² - (1/2) ²) = (1/2) / √ (2/4) = √2/2.

Тангенс искомого угла равен:

tgα = 2*tg (α/2) / (1 - tg² (α/2)) = 2 * (√2/2) / (1 - (2/4)) = 2√2.

Его квадрат равен 8.