Проверить что четырехугольник с координатами А (4; 4), В (5; 7), С (10; 10), Д (12; 4) является выпуклым

Все очень просто, если бы не арифметика ...

Четырехугольник задан координатами его вершин, значит имеем дело с векторами. Выпуклый многоугольник - многоугольник, все углы которого меньше 180°.

Косинус угла между векторами равен скалярному произведению векторов, поделенному на произведение модулей векторов.

Для нахождения угла А:

1) находим координаты векторов АВ и АD (угол А между ними) :

АВ={Xb-Xa; Yb-Ya} = {5-4; 7-4} = {1; 3}

AD={12-4; 4-4} = {8; 0}

2) Находим скалярное произведение векторов АВ и АD:

AB*AD = Xab*Xad + Yab*Yad = 8+0=8

3) Находим модули векторов АВ и АС:

|AB| = √ (X²+Y²) = √ (1+9) = √10

|AD| = √ (64+0) = 8

CosA = AB*AD / (|AB|*|AD|) = 8/8√10 ≈ 0,316 Угол А ≈ 72°.

Для нахождения угла В:

1) находим координаты векторов ВА и BС (угол В между ними) :

BA={Xa-Xb; Ya-Yb} = {4-5; 4-7} = {-1; -3}

BC={10-5; 10-7} = {5; 3}

2) Находим скалярное произведение векторов BA и BС:

BA*BC = Xba*Xbc + Yba*Ybc = (-5) + (-9) = - 14

3) Находим модули векторов BA и BС:

|BA| = √ (X²+Y²) = √ (1+9) = √10

|BC| = √ (25+9) = √34

CosВ = ВА*ВС / (|ВА|*|ВС|) = - 14/√340 ≈ - 0,759 Угол В ≈ 139°.

Для нахождения угла C:

1) находим координаты векторов CB и CD (угол C между ними) :

CB={5-10; 7-10} = {-5; -3}

CD={12-10; 4-10} = {2; -6}

2) Находим скалярное произведение векторов CB и CD:

CB*CD = Xcb*Xcd + Ycb*Ycd = (-10) + (18) = 8

3) Находим модули векторов CB и CD:

|CB| = √ (X²+Y²) = √ (25+9) = √34

|CD| = √ (4+36) = √40

CosC = CB*CD / (|CB|*|CD|) = 8/36,88 ≈0,217 Угол C ≈ 77°.

Для нахождения угла D:

1) находим координаты векторов DC и DA (угол D между ними) :

DC={10-12; 10-4} = {-2; 6}

DA={4-12; 4-4} = {-8; 0}

2) Находим скалярное произведение векторов DC и DA:

DC*DA = Xdc*Xda + Ydc*Yda = (16) + (0) = 16

3) Находим модули векторов DC и DA:

|DC| = √ (X²+Y²) = √ (4+36) = √40

|DA| = √ (64+0) = 8

CosD = DC*DA / (|DC|*|DA|) = 16/16√10 ≈0,316 Угол D ≈ 72°.

Все углы четырехугольника меньше 180°, значит он выпуклый, что и надо было проверить.

Проверим арифметику: сумма углов нашего четырехугольника равна:

72 °+139°+77°+72° = 360°. На удивление, совпало.