В треугольнике ABC проведена биссектриса BM. Точка K - точка касания вписанной окружности со стороной BC. KM параллельна AB. Найти сторону AB, если BC = 12, AC = 17

Тут вся соль в том, что

AB/BC = (свойство биссектрисы) = AM/MC = (из за MK II AB) = BK/KC;

Пусть точки касания вписанной окружности делят стороны треугольника на отрезки x y z, так, что

x + y = AB; (надо найти)

x + z = AC = 17;

y + z = BC = 12;

Из первой цепочки равенств следует, что

(x + y) / (y + z) = y/z; или xz = y^2; если подставить x = 17 - z; y = 12 - z; получится квадратное уравнение (12 - z) ^2 = (17 - z) z; или

2z^2 - 41z + 144 = 0; откуда z1 = 16; z2 = 9/2;

Ясно, что z < 12; поэтому остается корень z = 9/2;

x + y + 2z = 17 + 12 = 29; откуда x + y = 20;

AB = 20;