Найдите объём конуса, если его осевое сечение-прямоугольный треугольник, периметр которого равен m.

Ну, если радиус основания r, то высота осевого сечения (то есть - высота конуса) тоже r (это же равнобедренный прямоугольный треугольник), основание осевого сечения 2*r, боковые стороны r * √2,

(2 + 2*√2) * r = m; r = m * (√2 - 1) / 2;

Объем конуса равен

V = (1/3) * (pi*r^2) * r = (pi/3) * r^3 = (pi/24) * m^3 * (√2 - 1) ^3 = (pi * (5*√2 - 7) / 24) * m^3*;

Объем конуса V=⅓πR²h

Осевое сечение - равнобедренный прямоугольный треугольник с образующей L и основанием 2R. h=R, L=R√2. периметр 2L+2R = 2R√2+2R = 2R (1+√2) = m, отсюда R=m/2 (1+√2)

V = ⅓πR²h = π[m/2 (1+√2) ]³/3 = πm³/24 (1+√2) ³