в треугольнике ABC на стороне BC, как на диаметре построена окружность, пересекающая сторону BA в точке M. найти отношение S треугольника ABC и треугольника BCM, если AC = 15, BC = 20, угол ABC = углу ACM.

Треугольник АВС прямоугольный:

обозначим равные углы (угол ABC = углу ACM.) за α.

Угол ВМС = 90° как вписанный угол, опирающийся на диаметр.

Смежный с ним угол АМС = 180 - 90 = 90°.

Угол ВАС = МАС = 90 - α.

Тогда угол ВСА = 180-α - (90-α) = 90°.

Высота СМ треугольника АВС равна h = (2√ (p (p-a) (p-b) (p-c)) / a или h = 2S / a = 2 * ((1/2) * 15*20) / 25 = 300 / 25 = 12.

Сторона а (гипотенуза) равна √ (15²+20²) = √625 = 25.

Площадь треугольника АВС = (1/2) * 15*20 = 150.

Катет АМ треугольника АМС равен √ (15²-12²) = √ (225-144) = √81 = 9. Площадь треугольника АМС равна (1/2) * 9*12 =

=54.

Отношение площадей заданных треугольников равно

150/54 = 25 / 9 = 5 ² / 3² = (5/3) ².

Этот вывод можно получить из соотношения сторон подобных треугольников:

Подобные стороны относятся: к = ВС / СМ = 20 / 12 = 5 / 3.

Площади подобных треугольников относятся как квадраты подобных сторон, то есть (5/3) ².