Точка касания окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, делит гипотенузу в отношении 2/3. меньший катет треугольника равен 12 см. найдите радиус вписанной окружности

Пусть ABC - прямоугольный треугольник, ∠C = 90°. K, M, F - точки касания со сторонами АС, АВ, ВС. ВС = 12 см.

Пусть коэффициент пропорциональности равен х, тогда AM=2x; BM=3x.

По свойству отрезков касательных, проведенных из одной точки

AK = AM = 3x.

BF = BM = 2x

CK=CF = x

BC = BF + CF = 2x + x = 3x = 12 откуда х=4 см

АВ = АМ + ВМ = 3 х + 2 х = 5 х = 5 * 4 = 20 см

АС = АК + СК = 3 х + х = 4 х = 4*4 = 16 см

Стороны прямоугольного треугольника будут 20 см, 16 см и 12 см.

Радиус вписанной окружности; r = (AC+BC-AB) / 2 = (16+12-20) / 2 = 4 см