Треугольник АВС и точка М на плоскости таковы, что результатом последовательного отражения точки M относительно всех сторон треугольника и вершины А будет снова точка М. Докажите, что треугольник АВС-прямоугольный

Пусть M1, M2, M3 - образы точки M при последовательных отражениях. Три из четырёх проделанных преобразований (симметрии относительно прямой AB, прямой AC и точки A) не меняют расстояния до точки A. Поскольку точка M осталась на месте, то и симметрия относительно BC не изменила расстояния до точки A. Значит одна из точек Mi лежит на прямой BC. Последовательные отражения относительно AC и AB есть поворот на 2 ∠ BAC, а отражение относительно точки A - поворот на 180. Значит, композиция всех этих преобразований является поворотом точки M на 2 ∠ BAC + 180. Так как M осталось неподвижна, то 2 α + 180 делится на 2 π. Значит, ∠ BAC = 90.