В треугольнике ABC угол A равен 45o, а угол C - острый. Из середины стороны BC опущен перпендикуляр NM на сторону AC. Площади треугольников NMC и ABC относятся, как 1:8. Найдите углы треугольника ABC.

Площадь треугольника определяется как половина произведения двух его сторон на синус угла между ними. Если одна сторона (в нашем случае ВС) поделена точкой пополам (BN = NC), то, соответственно, вторая сторона АС должна быть поделена точкой M в соотношении 1 / (8:2) = 1/4, т. е. МС: АС = 1:4. Тогда соотношение этих сторон должно быть равно ВС: АС = 1/√2 = sin45°.

Значит, треугольник АВС - прямоугольный, с прямым углом В, и равнобедренный (АВ = ВС), и его углы равны 45°, 45° и 90°.

Ответ: 45°; 45°; 90°