через внутреннюю точку треугольника проведены прямые параллельно всем сторонам данного треугольника. Площади образовавшихся треугольников равны 25, 16, 4. найдите площадь данного треугольника. ответ 121

Если стороны треугольника a b c, и расстояния от точки до сторон ha, hb, hc, а высоты треугольника к соответствующим сторонам Ha, Hb, Hc; то не трудно увидеть (если соединить точку с вершинами) что площадь S всего треугольника можно записать как

S = a*ha/2 + b*hb/2 + c*hc/2;

при этом S = a*Ha/2 = b*Hb/2 = c*Hc/2; откуда

1 = ha/Ha + hb/Hb + hc/Hc;

Ясно, что в подобных треугольниках высоты относятся, как соответствующие стороны, а отношение площадей равно квадрату отношения сторон (все это надо знать, как доказать). Поэтому

1 = √ (S1/S) + √ (S2/S) + √ (S2/S) ;

S = (√S1 + √S2 + √S3) ^2; это ответ.

S = (5 + 4 + 2) ^2 = 121