2. Выводите формулу для вычисления угла правильного n-угольника.

5. Выведите формулу для вычисления площади правильного

многоугольника через его периметр и радиус вписанной

окружности.

6. Выведите формулы для вычисления стороны правильного

я-угольника и радиуса вписанной в него окружности через

радиус описанной окружности.

7. Как выражаются стороны правильного треугольника,

2. Правильный многоугольник можно вписать в окружность. Тогда эта окружность делится его вершинами на n частей, а круг, описанный данной окружностью, на n равнобедренных треугольников (две стороны каждого - радиусы описанной окружности). Тогда угол при вершине одного такого треугольника (центральный угол) будет равен 360°/n, а сумма углов при его основании равна искомому углу n - угольника. То есть 180-360/n или 180 (1-2/n) или 180 * (n-2) / n.

5. Радиус вписанной в многоугольник окружности окружности, проведенный к стороне этого многоугольника в точку касания, перпендикулярен к его стороне и является высотой одного из n равнобедренных треугольников, на которые делится многоугольник отрезками, проведенными к его вершинам из центра вписанной окружности. Площадь одного такого треугольника равна произведению высоты (радиуса вписанной окружности) на половину стороны (сторона многоугольника), к которой проведена эта высота (1/2) * r*a. Таких треугольников n. Значит площадь многоугольника равна n * (1/2) * a*r. Но n * (1/2) * a - это полупериметр многоугольника. Следовательно, его площадь равна произведению полупериметра на радиус вписанной окружности, то есть S=p*r.

6. Правильный многоугольник можно вписать в окружность. Тогда эта окружность делится его вершинами на n частей, а круг, описанный данной окружностью, на n равнобедренных треугольников (две стороны каждого - радиусы описанной окружности, а основание - сторона многоугольника). Учитывая, что угол при вершине такого треугольника равен α=360°/n, имеем: Sin (α/2) = (a/2) : R (отношение противолежащего катета к прилежащему). Тогда окончательная формула для стороны многоугольника: а=2R*Sin (180°/n).

Поскольку радиус r вписанной окружности - это высота указанного выше равнобедренного треугольника, а радиус R описанной окружности - его боковая сторона, то R=r*Cos (180°/n).

7. Стороны правильного треугольника (а они равны) можно выразить через:

его периметр: а=Р/3, высоту (биссектрису, медиану) треугольника а=2*h√3/3, площадь треугольника: a²=4S√3/3, радиус описанной окружности: a=R√3, радиус вписанной окружности: a=2r√3.