В треугольнике ABC сторона АС=6/корень из pi, величина угла ABC равна 60 градусов, а периметр треугольника равен 15/корень из pi. Найти площадь вписанного в треугольник круга.

Пусть BC=a, AC=b, AB=c, P=a+b+c и r - радиус вписанной окружности.

Тогда т. к. cos (ABC) = 1/2, то по т. косинусов b²=a²+c²-aс.

Кроме того, a²+c² = (a+c) ²-2ac = (P-b) ²-2ac, значит подставляя это в т. косинусов, получим b² = (P-b) ²-2ac-aс, откуда ac = ((P-b) ²-b²) / 3 = (P-2b) P/3.

Значит площадь S треугольника ABC равна

S = (1/2) * ac*sin (60°) = (P-2b) P / (4√3) = P*r/2, откуда

r = (P-2b) / (2√3) = (15-2·6) / (2√ (3π)) = √3 / (2√π).

Значит площадь вписанного круга равна π·r²=π·3 / (4π) = 3/4.

2 способ (более короткий).

Если обозначить через x, y, z отрезки на которые точки касания вписанной окружности разбивают стороны треугольника, то получим x+y+z=P/2 и x+y=b, откуда z=P/2-b. Т. к центр впис. окружности лежит на биссектрисе угла в 60 градусов, то r=z·ctg (30°) = (P-2b) / (2√3).