Две стороны остроугольного треугольника равны 15 и 20 а медианы этих сторон пересекаются под прямым углом. Найти третью сторону этого треугольника

Пусть АВ=20; ВС=15

Медиана АР делит сторону ВС пополам. ВР=РС=7,5

Медиана СК делит сторону АВ пополам. АК=КВ=10

Медианы в точке пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины. Пусть медианы пересекаются в точке М. Тогда:

РМ=х

АМ=2 х

КМ=у

СМ=2 у

Из прямоугольного треугольника РМС:

х ² + (2y) ² = 7,5 ²

Из прямоугольного треугольника AMK:

(2 х) ²+y²=10²

Решаем систему уравнений методом сложения:

{x ² + 4y ² = 56,25

{4x ² + y ² = 100

5x ² + 5y ² = 156,25

x ² + y ² = 31,25

Из прямоугольного треугольника АМС

АС 2 = (2x) ² + (2y) ² = 4x ² + 4y ² = 4 * (x ²+y²) = 4· 31,25=125

AC=√ 125=5√ 5

О т в е т. 5√ 5.