Рассмотрим на координатной плоскости точки A (-2; 5) и B (4; - 3). Найдите координаты точки M, если AM^2 + BM^2 = 50.

Пусть М (х, у).

АМ² = (х+2) ² + (у-5) ²

ВМ² = (х-4) ² + (у+3) ².

Получим уравнение (х+2) ² + (у-5) ² + (х-4) ² + (у+3) ²=50.

После упрощения получим 2 х²-4 х+2 у²-4 у = - 4.

х²-2 х+у²-2 у = - 2. Выделим квадраты в левой части

х²-2 х+1-1+у²-2 у+1-1 = - 2

(х-1) ² + (у-1) ² = 0. Это уравнение имеет единственное решение (1; 1), т. к. сумма неотрицательных квадратов может быть равна 0, если каждое слагаемое равно 0.