Докажите что биссектрисы углов прямоугольника при пересечении образуют квадрат

Биссектрисы внутренних односторонних углов взаимно перпендикулярны, поэтому этот четырехугольник - заведомо прямоугольник. Чтобы он был квадратом, достаточно доказать равенство смежных сторон.

Квадрат отличается от прямоугольника тем, что симметричен относительно диагоналей.

У полученного прямоугольника противоположные вершины лежат на прямых, проходящих через середины противоположных сторон исходного прямоугольника.

Поскольку исходный прямоугольник переходит в себя при отражении относительно этих прямых, то и полученный при пересечении биссектрис прямоугольник тоже симметричен относительно этих прямых (то есть переходит в себя при отражении), то есть - относительно своих диагоналей.

значит, это квадрат.